Tangencias

Para calcular las tangentes a una circunferencia desde un punto exterior P, se une el punto con el centro de la circunferencia O y se hace la mediatriz de ese segmento, en el punto medio se hace centro con la distancia desde ese punto, centro de la circunferencia azul, hasta el centro de la circunferencia amarilla de centro O.
Donde la circunferencia azul corta a la circunferencia amarilla dada tenemos los puntos de tangencia T1 T2 que unidos al punto exterior P nos determina las tangentes a la circunferencia amarilla desde ese punto.


Para calcular las circunferencias tangentes a una recta y que al mismo tiempo pasen por un punto M con un radio dado r, se hace una paralela al segmento dado con ese radio y desde el punto dado M y con el radio dado r se hace un arco que corta a la paralela construida en dos puntos, que son los centros O O de las circunferencias buscadas. Desde esos dos puntos se hacen perpendiculares al segmento dado que lo cortan en los puntos de tangencia C D.

Para calcular una recta tangente a una circunferencia de centro O paralela a otra dada a, se hace centro en la circunferencia O y un arco que corte a la recta dada a, en los puntos de intersección del arco y la recta dada a se hace centro con el mismo radio y construimos la mediatriz p que corta a la circunferencia dada en T. Por T hacemos una recta paralela b a la dada a.

Para construir las circunferencias tangentes a tres rectas, se hacen las bisectrices que en cada intersección, la intersección de estas bisectrices nos determina los centros de las cuatro circunferencias. Sólo dibujamos estas circunferencias allí donde haya huecos comprendidos entre tres líneas, ya que los que están comprendidos entre dos líneas admiten infinitas circunferencias que sean tangentes a las dos.

Para construir una recta tangente a una curva m en un punto dado O, se hace una circunferencia de radio cualquiera con centro en el punto O. Está circunferencia amarilla corta a la curva en el punto P, se hace centro en este punto, con el radio PO hasta que corta a la curva en el punto Q. Hacemos centro en el punto O y con él radio OQ hacemos una circunferencia c que corta a la anterior b en el punto T. Unimos el punto T con O y tenemos que esta recta es la tangente a la curva m en el punto O.

Dadas dos rectas concurrentes ñ p y un punto interior M, calcular una circunferencia tangente a las dos rectas y que al mismo tiempo pase por M. Se hace la bisectriz v y por un punto cualquiera de ella se hace centro O y construimos una circunferencia amarilla tangente a las dos rectas dadas. Unimos el punto de intersección D de las rectas dadas con M mediante la recta s y está corta a la circunferencia amarilla en el punto C. Hacemos por M una recta paralela al segmento CO hasta que corta a la recta v en el punto G. Hacemos centro en este punto G con el radio GM y tenemos la circunferencia que es tangente a las dos rectas dadas ñ p y que al mismo tiempo pasa por el punto dado M. Si se quiere saber cuáles son los puntos de tangencia con las rectas, basta con hacer perpendiculares a ellas desde el punto G. En la intersección de las perpendiculares con las rectas dadas tenemos los puntos de tangencia.
La resolución del ejercicio se basa en que las dos circunferencias son homotéticas y el centro de la homotecia es la intersección de las rectas dadas ñ p. De la misma forma son homotéticos los segmentos OC MG.


Dada una circunferencia amarilla de centro O, y un punto exterior P, determinar una circunferencia que sea tangente a la circunferencia dada en un punto de la misma T y que al mismo tiempo pase por P.
Se une el centro de la circunferencia O con T mediante una recta que se prolonga. Se une el punto P con T y se hace de la mediatriz de este segmento, donde está corta a la recta OT tenemos el centro S1 de la nueva circunferencia rosa que pasa por los dos puntos dados P T y al mismo tiempo es tangente a la circunferencia amarilla dada de centro O.


En este ejercicio recién realizado se constata uno de los primeros principios que deben ser estudiados en las tangencias, a saber, que las circunferencias tangentes (en el dibujo la circunferencia amarilla y azul) tienen alineados sus centros con el punto de tangencia A.

Dadas dos circunferencias (una la correspondiente al círculo de color rosa y la otra a la naranja) construir las tangentes exteriores r s a las mismas.
Se hace centro en O, centro del círculo naranja y se hace una circunferencia cuyo radio es el del círculo naranja menos el del círculo rosa. Se hacen las tangentes desde el centro del círculo rosa a la última circunferencia construida mediante el procedimiento explicado en el primer ejercicio. Se unen los puntos de tangencia B C con el centro O del círculo naranja y donde corten a la circunferencia naranja tenemos los puntos de tangencia por los cuales hacemos rectas paralelas r s a las tangentes anteriores m n.
Si queremos saber los puntos de tangencia exactos con el círculo rosa, por el centro de esta circunferencia haremos paralelas a las rectas OB OC.


Nótese la analogía entre este ejercicio y el de la homotecia, las dos circunferencias dadas a b son homotéticas y sus tangentes se cortan en el centro de homotecia. Las rectas tangentes d e concurrentes en el centro de homotecia serán paralelas a las rectas p ñ que pasan por el centro S y que al mismo tiempo son tangentes a la circunferencia v debido a que el radio de la circunferencia de centro S se mantiene constante a lo largo de estas rectas paralelas.

Para hacer las tangentes interiores a dos circunferencias dadas (las correspondientes a los círculos de color amarillo y rosa) hacemos centro en la circunferencia rellena de color amarillo con el radio de esta sumado al de la otra dada. Con este radio hacemos el círculo azul. Desde el del centro del círculo rosa calculamos las tangentes m n al círculo azul y unimos los puntos de tangencia B C con el centro del círculo amarillo. En la intersección de estas rectas con la circunferencia de círculo amarillo obtenemos los puntos D E por donde hacemos paralelas a las tangentes m n. Estas rectas paralelas c r son las tangentes interiores comunes a las dos circunferencias.

En síntesis, se puede deducir que cuando las tangentes comunes son interiores hemos de sumar el radio menor al radio mayor de las circunferencias dadas, mientras que cuando las tangentes son exteriores debemos aplicar la diferencia.
El siguiente paso general para estos ejercicios es hacer las tangentes a la nueva circunferencia desde el centro del círculo menor y esa va a ser la dirección de las tangentes buscadas.


Construir una recta tangente t a una circunferencia a por un punto P de la misma.
Se construye una circunferencia cualquiera b cuyo centro sea el punto de tangencia P. Esta circunferencia corta a la dada en el punto H. En este punto hacemos otra circunferencia c con el mismo radio que corta a la circunferencia b en el punto K. Con centro en este punto hacemos otra circunferencia d del mismo radio. La intersección de las circunferencias c d produce dos puntos P T y son los que determinan la recta tangente a la circunferencia a.


Dadas las circunferencias a b y el punto C perteneciente a la circunferencia a, construir las circunferencias tangentes a ambas y que pasen por ese punto.
Los centros de las circunferencias buscadas incidirán en la recta i que pasa por el centro de la circunferencia a y el punto C. Hacemos en el centro C una circunferencia de igual dimensión a la b. Los puntos de corte con la recta i, los unimos con el centro de la circunferencia b y a continuación hacemos las mediatriz es de estos dos segmentos. Donde estas mediatrices m n cortan a la recta i tenemos los centros de las dos circunferencias buscadas.


Dada una recta c, un punto incidente A sobre la misma y un punto exterior B, determinar una circunferencia que siendo tangente a la recta en el punto incidente A pase también por el punto exterior B.
Unimos los dos puntos dados A B con un segmento del que hacemos su mediatriz m y en la intersección de esta recta con la perpendicular p a la recta dada c por A tenemos el centro O de la circunferencia buscada.


Construir la circunferencia tangente a dos rectas dadas b c en un punto A de una de ellas.
Se hace la bisectriz b de ambas rectas y donde corta a la perpendicular p por el punto dado A obtenemos el punto G, que es el centro de la circunferencia de radio GA tangente a ambas de incidente en el punto A.


Construir las circunferencias tangentes a otra dada c por un punto de la misma B y al mismo tiempo que se han tangentes a una recta a.
Hacemos una recta roja que pase por el centro de la circunferencia c y por B. En B hacemos la tangente t a la circunferencia c, construimos las bisectrices de las rectas t a y donde estas cortan a la recta roja tenemos los centros de las circunferencias buscadas.





Problema de Apolonio
Se trata de calcular las circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas, de forma general este ejercicio puede tener hasta ocho soluciones.
Primero calculamos los centros de homotecia de cada par de circunferencias, éstos se obtienen haciendo las tangentes comunes interiores y exteriores a ambas, la intersección de las tangentes son los centros de homotecia.
Una vez que tenemos los centros de homotecia hacemos rectas incidentes en los centros de homotecia que están alineados tres a tres, según el teorema de Monge.

Teorema de Monge
Si a 3 circunferencias se le hacen las tangentes comunes 2 a 2, los 3 puntos de intersección de cada par de tangentes están alineados. El teorema es válido para las tengentes exteriores e interiores, indistintamente y combinadas.







Retomando el ejercicio de Apolonio, se hacen los polos de esas rectas que alinean los centros de homotecia. Para calcular el polo basta con hacer una perpendicular por el centro de la circunferencia a la recta que alinean los centros de homotecia, desde el punto de intersección se hace una tangente a la circunferencia y por el punto de tangencia una paralela a la recta anterior, está corta a la perpendicular en un punto que es el polo.
Por último calculamos el centro radical de las tres circunferencias y lo unimos con los polos.


El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos desde los que todas las tangentes a las circunferencias son iguales. Por ejemplo el punto O, o cualquier punto de p que es el eje radical de a b, se tiene que desde él se pueden trazar las tangentes a ab y son siempre iguales, así, desde O se tiene que t1= t2.
Para calcular el eje radical de 2 circunferencias a b, se hace otra auxiliar c que corte a ambas, por los puntos de intersección se trazan las secantes m n, y en su punto de corte O se hace una perpendicular p a la línea u que une los dos centros de ab. Op es el eje radical de a b.
Para calcular el centro radical de 3 circunferencias a b h se hace el eje radical de ab y el de bh. La intersección de los dos ejes radicales er1 y er2 es el centro radical CR o punto desde el que todas las tangentes a las circunferencias son iguales: t1=t2=t3=t4.





Siguiendo con el problema de Apolonio, el segmento que une el centro radical con cada polo determina en su intersección con cada circunferencia el punto de tangencia de la circunferencia buscada.
Una vez que tenemos los 3 puntos de tangencia, basta con hacer una circunferencia que pase por los 3 puntos, para ello hacemos un triángulo que pase por los 3 puntos y la intersección de las mediatrices de los lados nos determinan el centro de la circunferencia que es tangente a las tres.